Перед началом волейбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Байкал" играет по очереди с командами "Амур", "Енисей", "Вилюй" и "Иртыш". Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах право первой владеть мячом выиграет команда "Байкал".

Чтобы найти вероятность того, что команда "Байкал" выиграет право первой владеть мячом ровно в двух из четырёх матчей, можно воспользоваться формулой для нахождения вероятности конкретного количества успешных исходов в серии испытаний Бернулли.

Дано:

1. В каждом матче судья подбрасывает монету, и вероятность того, что "Байкал" выиграет право первой владеть мячом, равна $p = 0.5$ (так как монета симметрична, вероятность выпадения каждой стороны равна 50%).
2. Всего матчей — 4, и каждый из них является независимым испытанием.
3. Нас интересует событие, когда "Байкал" выиграет право на первый мяч ровно в двух матчах из четырёх.

Шаг 1: Выбор распределения

Так как каждый матч — это испытание с двумя возможными исходами (выигрыш или проигрыш права на первый мяч), и вероятность выигрыша постоянна в каждом матче, эта задача соответствует биномиальному распределению.

Биномиальная вероятность события, при котором определённое количество успехов (выигрышей) происходит за фиксированное количество испытаний, вычисляется по формуле:

где:

• $n$ — общее количество испытаний (в данном случае $n = 4$),
• $k$ — нужное количество успехов (в данном случае $k = 2$),
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании (здесь $p = 0.5$),
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$.

Шаг 2: Подставим значения в формулу

1. Сначала найдём $C_4^2$ — число сочетаний из четырёх матчей, в которых "Байкал" выиграет в двух:

   $$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$

2. Затем подставим значения в формулу для вероятности:

   $$P(X = 2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (1 - 0.5)^{4 - 2}$$

   Упростим выражение:

   $$P(X = 2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375$$

Ответ

Вероятность того, что команда "Байкал" выиграет право первой владеть мячом ровно в двух матчах из четырёх, равна $0.375$ или 37.5%.