Шахматный конь начинает свой маршрут из левого нижнего угла доски, а заканчивает его в правом верхнем. Может ли конь побывать при этом на всех полях доски в точности по одному разу?

Нет, не может.

Конь при каждом ходе всегда переходит на поле противоположного цвета: он смещается на 1 клетку в одном направлении и на 2 в другом, то есть суммарно меняет чётность координат.

Левое нижнее поле и правое верхнее поле шахматной доски имеют один и тот же цвет. Например, если считать их как $a1$ и $h8$, то оба поля находятся на клетках одинаковой чётности координат.

Чтобы побывать на всех 64 полях ровно по одному разу, конь должен сделать 63 хода. После нечётного числа ходов он обязан оказаться на поле противоположного цвета относительно стартового. Но конечное поле того же цвета, что и начальное.

Получается противоречие: маршрут с такими началом и концом невозможен.