На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?

Ответ: 10 дробей.

Решение.

На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из них составили 11 дробей, используя каждую карточку ровно один раз.

Нужно определить, какое наибольшее количество этих дробей может иметь целое значение.

1. Докажем, что все 11 дробей не могут быть целыми.

Чтобы дробь имела целое значение, её числитель должен делиться на знаменатель без остатка.

Рассмотрим числа 13, 17 и 19.

Все три числа являются простыми. Кроме того, их удвоенные значения больше 22:

Поэтому каждое из этих чисел может входить в дробь с целым значением только вместе с числом 1 (например, $\frac{13}{1}$, $\frac{17}{1}$ или $\frac{19}{1}$).

Но карточка с числом 1 всего одна, а чисел 13, 17 и 19 — три.

Следовательно, невозможно составить 11 дробей так, чтобы все они имели целые значения.

Значит, целых дробей может быть не больше 10.

2. Покажем, что 10 таких дробей составить можно.

Например, составим следующие 11 дробей:

Здесь использованы все натуральные числа от 1 до 22 ровно по одному разу.

При этом первые 10 дробей имеют целые значения, а последняя дробь $\frac{17}{13}$ — нецелое значение.

Таким образом, мы смогли составить 10 дробей с целыми значениями и доказали, что больше составить невозможно.

Ответ: $\boxed{10}$.