(81^cos x)^sin x = 9^(√3 cos x). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решим уравнение:

1. Приведём обе части к одинаковому основанию.

Заметим, что

Используя свойство степени $(a^m)^n=a^{mn}$, получаем:

Следовательно,

Поскольку основания равны и $3\neq 1$, приравниваем показатели:

2. Решим полученное уравнение.

Перенесём всё в левую часть:

Вынесем общий множитель:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем два случая.

Первый случай:

Общее решение:

Выберем корни, принадлежащие отрезку

Получаем:

Второй случай:

Отсюда

Общее решение:

или

Найдём корни на заданном отрезке.

При $k=1$:

Из этих значений только $\frac{7\pi}{3}$