При каких x имеет смысл выражение log_{x+1}(17)?

Чтобы выражение $\log_{x+1}(17)$ имело смысл, необходимо, чтобы выполнялись условия существования логарифма:

1. Основание логарифма должно быть положительным: \[ x+1>0 \] Отсюда: \[ x>-1 \]

2. Основание логарифма не должно быть равно 1: \[ x+1\neq 1 \] Отсюда: \[ x\neq 0 \]

3. Число под знаком логарифма должно быть положительным: \[ 17>0 \] Это условие выполняется всегда, так как 17 — положительное число.

Объединим полученные условия:

Следовательно, выражение $\log_{x+1}(17)$ имеет смысл при всех $x$, которые больше $-1$, кроме $x=0$.

Ответ: