Скажите пожалуйста, почему a² + ab + b² > 0? Нужно доказать неравенство. Подробно, словно восьмилетке, а то я совсем сейчас не шарю. ;-;

Давай разберем это неравенство подробно и просто!

У нас есть выражение $a^2 + ab + b^2$, и нужно доказать, что оно больше нуля ($> 0$) при любых значениях $a$ и $b$, кроме случая, когда оба равны нулю.

Шаг 1. Что такое $a^2$, $ab$, $b^2$?

• $a^2$: это квадрат числа $a$. Например, если $a = 2$, то $a^2 = 4$. Если $a = -2$, то тоже $a^2 = 4$ (так как при возведении в квадрат минус исчезает).
• $ab$: это просто произведение чисел $a$ и $b$.
• $b^2$: квадрат числа $b$. Как и с $a^2$, квадрат числа всегда положителен или равен нулю.

Шаг 2. Разложим выражение по частям

Теперь смотрим на выражение:

Попробуем представить это в более удобной форме. Если приглядеться, то можно заметить, что оно похоже на формулу квадрата суммы! Напомню, как она выглядит:

Но у нас нет коэффициента $2$ перед $ab$. Поэтому мы слегка изменим подход.

Шаг 3. Добавим хитрость: разложим через квадраты

Можно переписать $a^2 + ab + b^2$ так:

Давай объясню, как это получилось:

1. Взяли часть $a^2 + ab$, и представили её как начало полного квадрата $\left( a + \frac{b}{2} \right)^2$.
2. Добавили остаток, чтобы уравновесить выражение, получив $\frac{3b^2}{4}$.

Шаг 4. Почему это выражение всегда больше нуля?

Теперь смотри на итоговое выражение:

• $\left( a + \frac{b}{2} \right)^2$: это квадрат числа. Квадраты всегда больше или равны нулю.
• $\frac{3b^2}{4}$: это тоже всегда больше или равно нулю (ведь $b^2$ — квадрат, а значит, неотрицательное число).

Сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательной. Более того, она равна нулю только в случае, если обе части равны нулю:

• $\left( a + \frac{b}{2} \right)^2 = 0$: это случится, если $a + \frac{b}{2} = 0$, то есть $a = -\frac{b}{2}$.
• $\frac{3b^2}{4} = 0$: это случится, если $b = 0$.

Если $b = 0$, то из $a = -\frac{b}{2}$ следует, что и $a = 0$.

Таким образом, $a^2 + ab + b^2 = 0$ только если $a = 0$ и $b = 0$.

Шаг 5. Итог

Мы доказали, что:

Простыми словами:

• Это выражение всегда положительное, кроме случая, когда оба числа равны нулю. Тогда оно равно нулю.
• Вся хитрость была в том, чтобы разложить выражение через квадрат, который легко понять!