Решить неравенство: 1/log_{x-4}(12/x) ≥ -1

Решим неравенство:

\[ \frac{1}{\log_{x-4}\frac{12}{x}} \ge -1 \]

1. Область определения

Логарифм \(\log_a b\) существует при \(a>0, a\neq 1, b>0\). Значит:

• \(x-4>0 \Rightarrow x>4\)
• \(x-4\neq 1 \Rightarrow x\neq 5\)
• \(\frac{12}{x}>0 \Rightarrow x>0\) (с учётом \(x>4\) это выполнено)
• знаменатель не равен нулю: \(\log_{x-4}\frac{12}{x}\neq 0 \Rightarrow \frac{12}{x}\neq 1 \Rightarrow x\neq 12\)

ОДЗ: \(x\in(4;5)\cup(5;12)\cup(12;+\infty)\).

2. Преобразование неравенства

Перенесём \(-1\) влево и приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{\log_{x-4}\frac{12}{x}} + 1 \ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{1+\log_{x-4}\frac{12}{x}}{\log_{x-4}\frac{12}{x}} \ge 0 \]

Заметим, что \(1 = \log_{x-4}(x-4)\). Тогда числитель:

\[ 1+\log_{x-4}\frac{12}{x} = \log_{x-4}(x-4) + \log_{x-4}\frac{12}{x} = \log_{x-4}\left( \frac{12(x-4)}{x} \right) \]

Обозначим \(A = \log_{x-4}\frac{12}{x}\). Неравенство принимает вид \(\frac{1+A}{A}\ge 0\), что равносильно совокупности:

\[ \begin{cases} A > 0, \\ \text{или} \\ A \le -1. \end{cases} \]

(\(A=0\) исключено ОДЗ).

3. Решение случаев методом рационализации

Для логарифмов с переменным основанием удобно применять равносильные переходы:

• \(\log_a b > 0 \Leftrightarrow (a-1)(b-1) > 0\)
• \(\log_a b \le \log_a c \Leftrightarrow (a-1)(b-c) \le 0\) (при \(a>0, a\neq 1, b>0, c>0\))

Случай 1: \(A > 0\), т.е. \(\log_{x-4}\frac{12}{x} > 0\).

\[ (x-4-1)\left(\frac{12}{x}-1\right) > 0 \quad\Rightarrow\quad (x-5)\cdot\frac{12-x}{x} > 0 \]

На ОДЗ \(x>4\), поэтому \(x>0\) и знаменатель можно убрать:

\[ (x-5)(12-x) > 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-5)(x-12) < 0 \]

Решение: \(x\in(5;12)\). С учётом ОДЗ \(x\neq 5,12\) — это и есть ответ для первого случая.

Случай 2: \(A \le -1\), т.е. \(\log_{x-4}\frac{12}{x} \le -1\).

Запишем \(-1 = \log_{x-4}\frac{1}{x-4}\). Тогда неравенство:

\[ \log_{x-4}\frac{12}{x} \le \log_{x-4}\frac{1}{x-4} \]

Рационализируем:

\[ (x-4-1)\left( \frac{12}{x} - \frac{1}{x-4} \right) \le 0 \]

Упростим скобку:

\[ \frac{12}{x} - \frac{1}{x-4} = \frac{12(x-4)-x}{x(x-4)} = \frac{11x-48}{x(x-4)} \]

Получаем:

\[ (x-5)\cdot\frac{11x-48}{x(x-4)} \le 0 \]

На ОДЗ \(x>4\), значит \(x>0\) и \(x-4>0\), поэтому знаменатель положителен. Умножаем на него без изменения знака:

\[ (x-5)(11x-48) \le 0 \]

Корни: \(x=5\) и \(x=\frac{48}{11}\approx 4{,}36\). Метод интервалов даёт \(x\in\left[\frac{48}{11}; 5\right]\).

С учётом ОДЗ исключаем \(x=5\) (основание не может быть равно 1). Остаётся \(x\in\left[\frac{48}{11}; 5\right)\).

4. Объединение результатов

Собираем решения двух случаев:

\[ x\in\left[\frac{48}{11}; 5\right) \cup (5; 12) \]

Ответ: \(\displaystyle x\in\left[\frac{48}{11}; 5\right) \cup (5; 12)\).

0 0 Пожаловаться