Найдите сингулярное разложение матрицы:

В условии задачи не указана матрица, для которой необходимо найти сингулярное разложение. Поэтому получить конкретный численный ответ пока невозможно.

Сингулярное разложение (SVD) произвольной матрицы $A$ размера $m\times n$ имеет вид

где:

• $U$ — ортогональная матрица размера $m\times m$;

• $\Sigma$ — диагональная (в общем случае прямоугольная) матрица, содержащая неотрицательные сингулярные числа;

• $V$ — ортогональная матрица размера $n\times n$;

• $V^T$ — транспонированная матрица $V$.

Алгоритм нахождения сингулярного разложения

Шаг 1. Вычисляем матрицу $A^TA$.

Шаг 2. Находим её собственные значения из характеристического уравнения:

Шаг 3. Находим сингулярные числа:

Сингулярные числа располагаем в порядке убывания:

Шаг 4. Находим нормированные собственные векторы матрицы $A^TA$. Из них составляем столбцы матрицы $V$.

Шаг 5. Для каждого положительного сингулярного числа находим соответствующий левый сингулярный вектор:

При необходимости дополняем полученные векторы до ортонормированного базиса, чтобы построить матрицу $U$.

Шаг 6. Составляем матрицу $\Sigma$, размещая сингулярные числа на главной диагонали, и получаем искомое разложение.

Итог: для выполнения задачи необходимо знать элементы исходной матрицы $A$. В представленном условии они отсутствуют, поэтому определить конкретные матрицы $U$, $\Sigma$ и $V^T$ нельзя.