Найти матрицу обратную данной и сделать проверку с помощью единичной матрицы А=[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&3&-1\\1&-1&3\\3&5&1\end{array}\right][/tex], Подробно пожалуйста!

Дана матрица:

\[A=\begin{pmatrix}2&3&-1\\1&-1&3\\3&5&1\end{pmatrix}\]

Сначала найдём определитель:

\[\det A=2((-1)\cdot1-3\cdot5)-3(1\cdot1-3\cdot3)+(-1)(1\cdot5-(-1)\cdot3)\]

\[\det A=2(-16)-3(-8)-8=-32+24-8=-16\]

Так как \(\det A\ne0\), обратная матрица существует.

Матрица алгебраических дополнений:

\[C=\begin{pmatrix}-16&8&8\\-8&5&-1\\8&-7&-5\end{pmatrix}\]

Присоединённая матрица — это транспонированная матрица дополнений:

\[\operatorname{adj}A=C^T=\begin{pmatrix}-16&-8&8\\8&5&-7\\8&-1&-5\end{pmatrix}\]

Теперь используем формулу:

\[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A\]

\[A^{-1}=\frac{1}{-16}\begin{pmatrix}-16&-8&8\\8&5&-7\\8&-1&-5\end{pmatrix}\]

Получаем:

\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1&\frac12&-\frac12\\-\frac12&-\frac5{16}&\frac7{16}\\-\frac12&\frac1{16}&\frac5{16}\end{pmatrix}\]

Проверка: умножим \(A\) на \(A^{-1}\):

\[A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}2&3&-1\\1&-1&3\\3&5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\frac12&-\frac12\\-\frac12&-\frac5{16}&\frac7{16}\\-\frac12&\frac1{16}&\frac5{16}\end{pmatrix}\]

\[A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Получилась единичная матрица, значит обратная матрица найдена верно.

0 0 Пожаловаться