Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x² - 2ax + a² + 2a - 6 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих отрезку [-3; 3].

Решение.

Дано уравнение:

Найдём все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет два различных корня, принадлежащих отрезку $[-3;3]$.

1. Найдём корни уравнения.

Сгруппируем слагаемые:

Отсюда:

Следовательно,

Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, необходимо:

2. Учтём условие принадлежности обоих корней отрезку $[-3;3]$.

Так как корни расположены в порядке возрастания, получаем:

Оба корня должны удовлетворять условию:

То есть:

Решим эти неравенства по отдельности.

3. Решим первое неравенство.

Перенесём слагаемые:

Поскольку левая часть неотрицательна, необходимо также:

Теперь возведём обе части неравенства в квадрат:

Раскроем скобки:

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

По формуле корней:

Так как ветви параболы направлены вверх, получаем: