Задание 1.
Постройте график функции y = x2 – 6x + 5. Найдите с помощью графика:
А. значение y при x = 0,5;
Б. значения x, при которых y = –1;
В. нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0;
Г. промежуток, на котором функция возрастает.

Задания 2-8 выполняются без построения графика.
Задание 2.
Найдите координаты вершины параболы y = 4x2 + 3x – 3.

Задание 3.
Найдите множество значений функции y = –2x2 + x – 5.

Задание 4.
Найдите область возрастания функции y = x2 – 2x – 6.

Задание 5.
Найдите область убывания функции y = 3x2 + 2x + 4.

Задание 6.
Найдите нули функции y = –x2 – x + 12.

Задание 7.
При каких значениях переменной х функция принимает положительные значения y = 2x2 + 16x + 30.

Задание 8.
При каких значениях переменной х функция принимает отрицательные значения y = –2x2 – 14x – 12.

Решение заданий:

Задание 1

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6x + 5$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Построение графика:

   • Чтобы построить график функции, удобно преобразовать выражение. Например, функция может быть переписана в виде: $$y = (x - 3)^2 - 4$$
   • Вершина параболы будет находиться в точке $x = 3$, $y = -4$. Парабола открыта вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

2. Решение по пунктам:

   • А. Найдите значение $y$ при $x = 0,5$:

     $$y = (0.5)^2 - 6 \cdot 0.5 + 5 = 0.25 - 3 + 5 = 2.25$$

     Таким образом, $y = 2.25$ при $x = 0.5$.

   • Б. Найдите значения $x$, при которых $y = -1$:

     $$-1 = x^2 - 6x + 5$$

     Перенесем $-1$ в левую часть:

     $$x^2 - 6x + 6 = 0$$

     Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

     $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$$

     Найдем корни:

     $$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$$

     Значит, $x \approx 3 \pm 1.73$, т.е., $x \approx 4.73$ и $x \approx 1.27$.

   • В. Найдите нули функции: Нули функции находятся при $y = 0$:

     $$x^2 - 6x + 5 = 0$$

     Решаем это уравнение:

     $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$

     Корни:

     $$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$$

     Таким образом, $x_1 = 5$ и $x_2 = 1$. Значит, нули функции — это точки $x = 1$ и $x = 5$.

   • Г. Промежутки, в которых $y > 0$ и $y < 0$:

     • $y > 0$ на промежутках $x < 1$ и $x > 5$.
     • $y < 0$ на промежутке $1 < x < 5$.

   • Д. Промежуток, на котором функция возрастает: Функция возрастает на промежутке $x > 3$, так как вершина параболы — это точка минимума.

Задание 2

Для функции $y = 4x^2 + 3x - 3$ найдем координаты вершины параболы:

• Координата $x$ вершины: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{8}$.
• Подставим это значение в уравнение, чтобы найти $y$: $$y = 4 \left(-\frac{3}{8}\right)^2 + 3 \cdot -\frac{3}{8} - 3$$ Упростив выражение, получим $y\approx -\frac{33}{8}$