Математика.
1) Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x² - 6x + 12 + a² - 12a = 0 принимает наибольшее значение.
2) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2^x - a = √(4^x - a) имеет единственный корень (^ — это степень).

1) Найти значения $a$, при которых модуль разности корней квадратного уравнения максимален

Рассмотрим уравнение:

Найдём дискриминант:

Приведём к квадрату:

Тогда:

Разность корней квадратного уравнения:

Чтобы эта величина была максимальной, нужно максимизировать выражение под корнем:

Максимум достигается при:

Ответ: $a = 6$.

2) Найти значения $a$, при которых уравнение имеет единственный корень

Сделаем замену:

Тогда уравнение:

ОДЗ:

Возведём в квадрат:

Сокращаем $t^2$:

Если $a \ne 0$, то:

Условия существования решения:

1. $t>0$:

2. $t-a \ge 0$:

3. $a \ne 0$