Найдите первые 50 членов двух арифметических прогрессий: 2, 7, 12, ... и 3, 10, 17, ..., которые одинаковы в обеих прогрессиях, и найдите их сумму S. В ответ запишите S/100.

Даны две арифметические прогрессии:

1. $2, 7, 12, \ldots$

2. $3, 10, 17, \ldots$

Необходимо найти первые 50 членов каждой прогрессии, которые совпадают, вычислить их сумму $S$, а затем найти $S/100$.

Шаг 1. Запишем формулы общих членов прогрессий.

Формула арифметической прогрессии:

Для первой прогрессии:

• Первый член: $a_1=2$.

• Разность: $d_1=5$.

Следовательно,

Для второй прогрессии:

• Первый член: $b_1=3$.

• Разность: $d_2=7$.

Следовательно,

Шаг 2. Найдём общие члены прогрессий.

Приравняем выражения:

Общие члены двух прогрессий повторяются через число, равное наименьшему общему кратному разностей 5 и 7:

Проверим первый общий член. Число 17 принадлежит обеим прогрессиям:

• В первой: $2,7,12,17,\ldots$

• Во второй: $3,10,17,\ldots$

Значит, общие члены образуют последовательность:

Шаг 3. Определим количество общих членов среди первых 50 членов обеих прогрессий.

Пятидесятый член первой прогрессии:

Пятидесятый член второй прогрессии:

Общие члены должны находиться в пределах до 247, поскольку это меньший из двух пятидесятых членов.

Последовательность общих членов:

Таким образом, всего имеется 7 общих членов.

Шаг 4. Вычислим сумму общих членов.

Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

где:

• $a_1=17$;

• $a_n=227$;

• $k=7$.

Подставляем значения:

Шаг 5. Найдём требуемое значение $S/100$.