Арифметическая и геометрическая прогрессии имеют первые члены, равные 5. Третьи члены этих прогрессий также равны между собой, а второй член арифметической прогрессии на 10 больше второго члена геометрической прогрессии. Найдите эти прогрессии.

Обозначим разность арифметической прогрессии через \( d \), а знаменатель геометрической прогрессии через \( q \).

Арифметическая прогрессия:

\[ 5;\ 5+d;\ 5+2d \]

Геометрическая прогрессия:

\[ 5;\ 5q;\ 5q^2 \]

По условию третьи члены равны:

\[ 5+2d=5q^2 \]

Второй член арифметической прогрессии на 10 больше второго члена геометрической:

\[ 5+d=5q+10 \]

Отсюда:

\[ d=5q+5 \]

Подставим в первое уравнение:

\[ 5+2(5q+5)=5q^2 \]

\[ 15+10q=5q^2 \]

\[ q^2-2q-3=0 \]

\[ (q-3)(q+1)=0 \]

Значит, \( q=3 \) или \( q=-1 \).

Первый вариант: если \( q=3 \), то \( d=20 \).

Арифметическая прогрессия: \( 5;\ 25;\ 45;\ 65;\ldots \)

Геометрическая прогрессия: \( 5;\ 15;\ 45;\ 135;\ldots \)

Второй вариант: если \( q=-1 \), то \( d=0 \).

Арифметическая прогрессия: \( 5;\ 5;\ 5;\ 5;\ldots \)

Геометрическая прогрессия: \( 5;\ -5;\ 5;\ -5;\ldots \)

Ответ: задача имеет два решения.

0 0 Пожаловаться