[tex]25^x + 3 * 10^x - 4 * 4^x > 0[/tex]

Решим неравенство:

\[25^x + 3 \cdot 10^x - 4 \cdot 4^x > 0\]

Представим степени через основания \(5\) и \(2\):

\[25^x = 5^{2x}, \quad 10^x = 2^x \cdot 5^x, \quad 4^x = 2^{2x}\]

Получаем:

\[5^{2x} + 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 4 \cdot 2^{2x} > 0\]

Разделим на \(2^{2x}\). Это число всегда положительное, поэтому знак неравенства не изменится:

\[\left(\frac{5}{2}\right)^{2x} + 3\left(\frac{5}{2}\right)^x - 4 > 0\]

Пусть \(t = \left(\frac{5}{2}\right)^x\), тогда \(t > 0\). Получаем квадратное неравенство:

\[t^2 + 3t - 4 > 0\]

Разложим на множители:

\[(t + 4)(t - 1) > 0\]

Так как \(t > 0\), подходит только:

\[t > 1\]

Возвращаемся к замене:

\[\left(\frac{5}{2}\right)^x > 1\]

Так как \(\frac{5}{2} > 1\), это верно при:

\[x > 0\]

Ответ: \(x \in (0; +\infty)\).

0 0 Пожаловаться