Докажите, что для всех натуральных n справедлива формула 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1).

Разложим каждое слагаемое:

\[ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \]

Тогда сумма равна:

\[ \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)} \]

\[ =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \]

Все промежуточные дроби сокращаются. Остаётся:

\[ 1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \]

Значит, для любого натурального \(n\):

\[ \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1} \]

0 0 Пожаловаться