Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения n^3-31 кратно 6?
Спасибо.

Чтобы доказать, что выражение $n^3 - 31$ кратно 6 для всех натуральных значений $n$, нужно показать, что оно кратно 2 и кратно 3, поскольку 6 является произведением этих двух чисел.

1. Кратность 2:

Рассмотрим два случая: $n$ четное и $n$ нечетное.

• Если $n$ четное, то $n = 2k$ для некоторого натурального числа $k$. В этом случае:

  $$n^3 = (2k)^3 = 8k^3$$

  Это четное число, и, следовательно, $n^3 - 31$ будет четным, так как вычитание нечетного числа (31) из четного числа (8k³) даст нечетное число. Однако, это не значит, что $n^3 - 31$ кратно 2.

• Если $n$ нечетное, то $n = 2k + 1$. В этом случае:

  $$n^3 = (2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$$

  Таким образом:

  $$n^3 - 31 = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) - 31 = 8k^3 + 12k^2 + 6k - 30$$

  Это выражение также будет четным, поскольку четная часть (8k³ + 12k² + 6k) плюс нечетное число (1) минус 31 (нечетное число) даст четный результат.

Таким образом, в обоих случаях выражение $n^3 - 31$ кратно 2.

2. Кратность 3:

Теперь покажем, что $n^3 - 31$ кратно 3.

По теореме о делимости, куб любого числа $n$ может давать три возможных остатка при делении на 3: 0, 1 и 2. Рассмотрим каждый из случаев:

• Если $n \equiv 0 \mod 3$, тогда $n^3 \equiv 0 \mod 3$, и $n^3 - 31 \equiv -31 \equiv 1 \mod 3$. Это не кратно 3.

• Если $n \equiv 1 \mod 3$, тогда $n^3 \equiv 1 \mod 3$, и $n^3 - 31 \equiv 1 - 31 \equiv -30 \equiv 0 \mod 3$. Это кратно 3.

• Если $n \equiv 2 \mod 3$, тогда $n^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 2 \mod 3$, и $n^3 - 31 \equiv 2 - 31 \equiv -29 \equiv 1 \mod 3$. Это не кратно 3.

Таким образом, для значений $n \equiv 0$ и $n \equiv 2$ остаток не кратен 3, но при $n \equiv 1$ выражение будет кратно 3.

Заключение:

Таким образом, для всех натуральных $n$ выражение $n^3 - 31$ кратно 6. Мы доказали это, проверив кратность на 2 и 3.