Упростить выражения: (A v B) & (A v B v C); A & (B & (¬A v ¬B)); ¬ (A & (B v ¬C) v ¬A & B); ¬ (A v B → ¬ (B v C)); A & B & C & (¬B v ¬C) v D;

Вот по шагам, с применением стандартных законов булевой алгебры (идем слева направо):

1. $(A \vee B) \wedge (A \vee B \vee C)$

• Закон поглощения (или монотоности): $X \wedge (X \vee Y) = X$, где $X = (A \vee B)$.

• Ответ: $\boxed{A \vee B}$.

2. $A \wedge \big(B \wedge (\neg A \vee \neg B)\big)$

• Ассоциативность: $= A \wedge B \wedge (\neg A \vee \neg B)$.

• Дистрибутивность: $= (A \wedge B \wedge \neg A) \vee (A \wedge B \wedge \neg B) = 0 \vee 0$.

• Ответ: $\boxed{0}$ (противоречие).

3. $\neg \big(A \wedge (B \vee \neg C) \;\vee\; \neg A \wedge B\big)$

• Внутри «скобок» раскроем: $A\wedge(B\vee\neg C) = (A\wedge B)\vee(A\wedge \neg C)$.

• Тогда: $(A\wedge B)\vee(A\wedge \neg C)\vee(\neg A\wedge B)$.

• Группируем по $B$: $(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge B) = B$. Значит внутри: $B \vee (A\wedge \neg C)$.

• Отрицание дизъюнкции: $\neg\big(B \vee (A\wedge \neg C)\big) = \neg B \wedge \neg(A\wedge \neg C)$.

• Де Морган: $\neg(A\wedge \neg C) = \neg A \vee C$.

• Ответ: $\boxed{\neg B \wedge (\neg A \vee C)}$.

4. $\neg \big(A \vee B \;\to\; \neg(B \vee C)\big)$

• Импликация: $X\to Y \equiv \neg X \vee Y$. Здесь $X=A\vee B$, $Y=\neg(B\vee C)$.

• Внутри: $\neg(A\vee B) \vee \neg(B\vee C)$.

• Отрицание: $\neg\big(\neg(A\vee B) \vee \neg(B\vee C)\big) = (A\vee B)\wedge(B\vee C)$.

• Свертка: $(A\vee B)\wedge(B\vee C) = B \vee (A\wedge C)$.

• Ответ: $\boxed{B \vee (A \wedge C)}$.

5. $A \wedge B \wedge C \wedge (\neg B \vee \neg C) \;\vee\; D$

• Внутри конъюнкции: $B\wedge C\wedge(\neg B \vee \neg C) = (B\wedge C\wedge \neg B)\vee(B\wedge C\wedge \neg C)=0\vee 0=0$.

• Тогда всё первое слагаемое: $A \wedge 0 = 0$.

• Остается: $0 \vee D = D$.

• Ответ: $\boxed{D}$.

Итоги упрощений:

1. $A \vee B$