4 Задание 5 У исполнителя Омега две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 5; 2. умножь на Б (b — неизвестное натуральное число; b> 2). Выполняя первую из них, Омега увеличивает число на экране на 5, а выполняя вторую, умножает это число на b. Программа для исполнителя Омега — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12111 переводит число б в число 48. Определите значение .​

Давайте разберемся с заданием шаг за шагом.

Условия задачи

У исполнителя Омега есть две команды:

1. Прибавь 5 — команда номер 1, которая увеличивает число на экране на 5.
2. Умножь на b — команда номер 2, которая умножает число на экране на некоторое число $b$, где $b$ — это неизвестное натуральное число, причём $b > 2$.

Задано, что программа 12111 переводит число $b$ в число 48. Нам нужно найти значение $b$.

Разбор программы 12111

Программа состоит из команд:

• 1 (прибаить 5),
• 2 (умножить на $b$),
• 1 (прибавить 5),
• 1 (прибавить 5),
• 1 (прибавить 5).

Итак, нужно понять, что происходит с числом, если выполнить эти команды по очереди. Пусть начальное число на экране будет $x$. Тогда последовательность команд будет выглядеть следующим образом:

1. Команда 1: прибавляем 5. Число становится $x + 5$.
2. Команда 2: умножаем на $b$. Число становится $(x + 5) \cdot b$.
3. Команда 1: прибавляем 5. Число становится $(x + 5) \cdot b + 5$.
4. Команда 1: прибавляем 5. Число становится $(x + 5) \cdot b + 10$.
5. Команда 1: прибавляем 5. Число становится $(x + 5) \cdot b + 15$.

Значит, после выполнения всей программы число будет равно:

Решение уравнения

Теперь подставим это уравнение и решим его:

1. Вычитаем 15 с обеих сторон:

2. Разделим обе стороны на $b$:

3. $x + 5$ должно быть целым числом, поэтому $\frac{33}{b}$ должно быть целым. Это означает, что $b$ должно быть делителем числа 33. Давайте найдем все делители 33:

Таким образом, возможные значения для $b$ — это 3, 11 и 33.

4. Однако по условию задачи $b > 2$, значит, возможные значения для $b$ — это 3 и 11.

Проверим эти значения

Для $b = 3$:

Проверим, что будет, если начальное число $x = 6$:

• После первой команды: $6 + 5 = 11$,
• После второй команды: $11 \cdot 3 = 33$,
• После третьей команды: $33 + 5 = 38$,
• После четвертой команды: $38 + 5 = 43$,
• После пятой команды: $43 + 5 = 48$.

Задача выполнена. Таким образом, $b = 3$ — это правильный ответ.

Для $b = 11$:

Начальное число $x = -2$ не является подходящим, так как это отрицательное число.

Ответ

Значение $b$ равно 3.