В четырехугольнике АБСД: АБ=СД, угол АБД = 50 градусов, СДБ = 50 градусов. Докажите, что АБСД - параллелограмм.

Для доказательства того, что четырёхугольник АБСД является параллелограммом, воспользуемся свойствами сторон и углов, а также признаками параллелограмма.

Дано:

• В четырёхугольнике АБСД: АБ = СД (по условию).
• Угол АБД = 50°.
• Угол СДБ = 50°.

Необходимо доказать: АБСД — параллелограмм.

Шаги доказательства:

1. Рассмотрим треугольники АБД и СДБ: Углы АБД и СДБ равны, так как равны по условию (по 50°). Кроме того, у этих треугольников общая сторона — БД. Также по условию нам дано, что стороны АБ и СД равны.

2. Докажем равенство треугольников АБД и СДБ по второму признаку равенства треугольников: Второй признак равенства треугольников гласит, что если одна сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны одной стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

   • В нашем случае:
     • Сторона БД общая.
     • Углы АБД и СДБ равны (по 50°).
     • Стороны АБ и СД равны (по условию).

   Таким образом, треугольники АБД и СДБ равны.

3. Вывод из равенства треугольников: Поскольку треугольники равны, то соответствующие стороны у них равны. Значит, стороны АД и БС тоже равны.

4. Параллельность сторон: В равных треугольниках равные углы напротив равных сторон. Следовательно, углы АБД и БСД равны между собой, так как треугольники равны. Это также означает, что углы АБД и СДБ, прилежащие к диагонали БД, равны. Таким образом, углы А и С в четырёхугольнике равны.

   Но если две противоположные стороны четырёхугольника равны и прилежащие углы равны, то такой четырёхугольник является параллелограммом.

5. Итог: Мы доказали, что противоположные стороны четырёхугольника АБСД равны (АБ = СД и АД = БС), а также то, что углы при диагонали БД равны. Это позволяет заключить, что АБСД — параллелограмм.

Таким образом, четырёхугольник АБСД действительно является параллелограммом по признаку равенства противоположных сторон.