В четырехугольнике АВСД, АВ=СД, угол АВД=50, угол СДВ=50. Докажите что АВСД параллелограмм

Чтобы доказать, что четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $\angle ABD = \angle CBD = 50^\circ$, является параллелограммом, мы воспользуемся определением параллелограмма и свойствами углов. Параллелограмм — это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны и равны.

1. Равенство и параллельность сторон: По условию задачи $AB = CD$. Это одно из необходимых условий для того, чтобы $ABCD$ был параллелограммом.

2. Рассмотрим углы: Углы $\angle ABD$ и $\angle CBD$ равны $50^\circ$. Это означает, что углы $\angle ABD$ и $\angle CBD$ составляют линейную пару с углами $\angle ABC$ и $\angle CDA$ соответственно (так как сумма смежных углов равна $180^\circ$). Таким образом, $\angle ABC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ и $\angle CDA = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

3. Доказательство параллельности: Теперь, если мы рассмотрим прямые $AB$ и $CD$, то углы $\angle ABC$ и $\angle CDA$, образованные этими прямыми и прямой $BD$, равны. Это означает, что $AB$ и $CD$ — это две прямые, пересекаемые третьей прямой (в данном случае $BD$), при этом образованные накрест лежащие углы равны. Согласно свойствам параллельных прямых, это означает, что $AB$ параллельна $CD$.

4. Равенство и параллельность противоположных сторон: У нас уже есть, что $AB = CD$ и $AB$ параллельна $CD$. Осталось показать, что $AD$ параллельна $BC$ и $AD = BC$. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. Они равны по двум сторонам и углу между ними ($AB = CD$, $BD$ общая, $\angle ABD = \angle CBD$), следовательно, по второму признаку равенства треугольников, эти треугольники равны. Это означает, что $AD = BC$ и углы $\angle ADB$ и $\angle BCD$ равны, что в свою очередь означает, что $AD$ параллельна $BC$, так как образуются равные накрест лежащие углы при пересечении с прямой $BD$.

Итак, мы доказали, что в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.