Из точки, не лежащей на данной прямой, проведены к прямой две наклонные a и b, проекции которых равны 5 см и 8 см соответственно. Какая из наклонных имеет большую длину? Ответ обоснуйте.

Большую длину имеет наклонная b, потому что её проекция на прямую больше.

Обоснование:

Пусть из точки к данной прямой опущен перпендикуляр. Его длина одинакова для обеих наклонных, так как обе наклонные проведены из одной и той же точки к одной и той же прямой.

Каждая наклонная вместе с перпендикуляром и своей проекцией образует прямоугольный треугольник. В таком треугольнике наклонная является гипотенузой.

Для наклонной a проекция равна 5 см, значит её длина выражается так:

Для наклонной b проекция равна 8 см:

Здесь $h$ — длина перпендикуляра от точки до прямой. Она одна и та же в обоих случаях.

Так как

то

Следовательно,

а значит,

Итак, наклонная b больше наклонной a, потому что из двух наклонных, проведённых из одной точки к одной прямой, больше та, у которой больше проекция.