Окружность радиусом 4 касается внешним образом второй окружности в точке В. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку В, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке А. Найти радиус второй окружности, если АВ=6.

Обозначим радиус второй окружности через $r$. Радиус первой окружности равен $4$.

Пусть окружности касаются внешним образом в точке $B$. Общая касательная, проходящая через $B$, пересекает другую общую касательную в точке $A$, причём

Ключевой факт: если из одной точки проведены две касательные к одной окружности, то отрезки касательных, проведённые из этой точки, равны.

Точка $A$ лежит на касательной к первой окружности, проходящей через $B$. Значит, $AB$ — касательный отрезок к первой окружности. Поэтому длина касательного отрезка из $A$ к первой окружности равна $6$.

Пусть $O$ — центр первой окружности. Тогда $OB=4$, а $AB=6$, причём $OB \perp AB$. Следовательно,

Теперь воспользуемся тем, что точка $A$ лежит также на общей касательной ко второй окружности. Отрезок $AB$ тоже является касательным отрезком ко второй окружности, потому что окружности касаются в точке $B$, и их общая касательная в этой точке одна и та же.

Значит, расстояние от $A$ до центра второй окружности $O_2$ удовлетворяет:

Так как окружности касаются внешним образом, их центры и точка $B$ лежат на одной прямой, причём $OB=4$, $O_2B=r$, а центры находятся по разные стороны от точки $B$. Поэтому расстояние между центрами равно

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $A$, точкой $B$ и центром второй окружности $O_2$. Его катеты равны $AB=6$ и $BO_2=r$, значит

Но теперь важно учесть условие про вторую общую касательную. Для двух внешне касающихся окружностей точка пересечения общих касательных лежит на внешнем центре подобия. Поэтому расстояния от этой точки до центров окружностей относятся как радиусы:

Подставляем:

Получаем:

Возведём в квадрат:

Перемножим крест-накрест:

Следовательно, радиус второй окружности равен