ПОМОГИТЕ!!!!!!СРОЧНО:(

две окружности с центрами в точках О1 и О2 касаются внешним образом в точке А. Докажите, что общая касательная этих окружностей, проходящая через точку А, перпендикулярна О1О2

Для решения задачи давайте рассмотрим две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, которые касаются внешним образом в точке $A$. Необходимо доказать, что общая касательная этих окружностей, проходящая через точку $A$, перпендикулярна отрезку $O_1O_2$.

Шаг 1: Важные определения и исходные данные

• Пусть окружности касаются в точке $A$.
• Центры окружностей обозначим как $O_1$ и $O_2$, радиусы окружностей — $r_1$ и $r_2$.
• Из условия задачи известно, что окружности касаются внешним образом в точке $A$, то есть, касание происходит снаружи, и расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно сумме их радиусов: $$O_1O_2 = r_1 + r_2.$$
• Общая касательная, проходящая через точку $A$, будет касательной как к первой окружности, так и ко второй.

Шаг 2: Свойства касательных

• Точка касания общей касательной с окружностью $O_1$ будет лежать на прямой, проходящей через точку $A$ и центр $O_1$. Это значит, что линия $O_1A$ перпендикулярна касательной в точке $A$.
• Аналогично, линия $O_2A$ будет перпендикулярна общей касательной в точке $A$.

Шаг 3: Геометрическая интерпретация

• Рассмотрим отрезок $O_1O_2$ и точку касания $A$. Прямые $O_1A$ и $O_2A$ являются радиусами касающихся окружностей, и по свойствам касания они перпендикулярны общей касательной в точке $A$.
• Таким образом, треугольники $O_1AO_2$ и касательные к окружностям в точке $A$ будут иметь особое отношение. Главный факт заключается в том, что прямая $O_1O_2$ будет перпендикулярна общей касательной, проходящей через точку касания $A$, потому что центры окружностей находятся на одной прямой, и вектор $O_1O_2$ образует прямой угол с касательной в точке $A$.

Шаг 4: Доказательство перпендикулярности

1. По построению, касательные к окружностям в точке $A$ перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания.
2. Отрезки $O_1A$ и $O_2A$ перпендикулярны касательной в точке $A$.
3. Так как прямые $O_1A$ и $O_2A$ образуют угол между центрами окружностей, и по свойствам касания эти прямые перпендикулярны общей касательной, мы можем утверждать, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна касательной в точке $A$.

Заключение

Таким образом, общая касательная, проходящая через точку $A$, действительно перпендикулярна отрезку $O_1O_2$.