Сколько плоскостей, заданных вершинами куба  A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , параллельны прямой  D 1 D D 1 D?

Для решения задачи нужно определить, сколько плоскостей, заданных вершинами куба, параллельны прямой $D_1 D$.

1. Рассмотрим куб с вершинами $A, B, C, D$ на нижней грани и $A_1, B_1, C_1, D_1$ на верхней. Каждая из этих вершин является частью одного из углов куба. Прямая $D_1 D$ соединяет вершины верхней и нижней граней куба, то есть она вертикальна.

2. Плоскости, параллельные прямой $D_1 D$, будут горизонтальными плоскостями, так как прямая $D_1 D$ является вертикальной и для параллельности плоскости должны быть также горизонтальными. Это плоскости, которые могут быть проведены через различные уровни, параллельные основанию куба.

3. Куб имеет 6 граней, и из них 2 плоскости (верхняя и нижняя) могут быть ориентированы горизонтально, а также плоскости, проходящие через середины вертикальных рёбер, также будут параллельны прямой $D_1 D$.

Итак, число плоскостей, параллельных прямой $D_1 D$, будет равно 3: верхняя, нижняя и плоскость, проходящая через середины рёбер куба.