Диагонали параллелограмма равны 12 и 20 см, а угол между ними равен 60°. Найдите стороны параллелограмма

Для нахождения сторон параллелограмма, у которого известны длины диагоналей и угол между ними, можно использовать теорему косинусов.

Дано:

• Диагонали параллелограмма $d_1 = 12$ см и $d_2 = 20$ см.
• Угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$.

Пусть стороны параллелограмма будут $a$ и $b$.

Шаги решения

1. Разделение диагоналей на половины: В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Следовательно, половины диагоналей будут:

   $$\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$ $$\frac{d_2}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}$$

2. Применение теоремы косинусов: Используем теорему косинусов для треугольника, стороны которого равны половинам диагоналей, а угол между ними равен $60^\circ$.

   В этом треугольнике искомые стороны $a$ и $b$ параллелограмма являются сторонами треугольника. Тогда по теореме косинусов имеем:

   $$a = \sqrt{\left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(60^\circ)}$$ $$b = \sqrt{\left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(60^\circ)}$$

3. Подстановка значений и вычисление:

   • Для стороны $a$:

     $$a = \sqrt{6^2 + 10^2 + 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)}$$

     Поскольку $\cos(60^\circ) = 0.5$, подставим его значение:

     $$a = \sqrt{36 + 100 + 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 0.5}$$ $$a = \sqrt{36 + 100 + 60} = \sqrt{196} = 14 \text{ см}$$

   • Для стороны $b$:

     $$b = \sqrt{6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)}$$

     Подставляя значение $\cos(60^\circ) = 0.5$:

     $$b = \sqrt{36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 0.5}$$ $$b = \sqrt{36 + 100 - 60} = \sqrt{76} \approx 8.72 \text{ см}$$

Ответ:

Стороны параллелограмма равны примерно: