Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 10 см и BM = 18 см. Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекается с продолжением AB в точке D. Найти CD.

Для решения задачи используем несколько геометрических свойств и теорем.

1. Использование теоремы о биссектрисе:

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM и BM, причем AM = 10 см, BM = 18 см. Это означает, что длина стороны AB равна:

По теореме о биссектрисе, отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, равно отношению двух прилежащих сторон:

Подставляем известные значения:

Это упрощается до:

Таким образом, длины сторон AC и BC связаны отношением 5:9. Теперь будем использовать это в дальнейших расчетах.

2. Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC:

Теперь давайте используем касательную к окружности, которая проходит через точку C и пересекает продолжение AB в точке D. Эта касательная имеет интересное свойство, которое можно сформулировать с помощью свойства касательных: длина отрезка от точки касания до точки пересечения продолжения стороны с касательной равна длине отрезка от точки касания до противоположной вершины, если эта касательная касается окружности, описанной вокруг треугольника.

Из этого следует, что отрезок CD равен длине отрезка, который соединяет точку D с точкой M на стороне AB. А так как M — точка, делящая сторону AB в отношении 10:18, мы можем записать:

Ответ: длина отрезка CD равна 20 см.