1)В равностороннем треугольнике сторона равна 2 корня из 3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 2) Около остроугольного АВС описана окружность. Точка О пересечения серединный перпендикуляров удалена от прямой АВ на 6 см. Найдите угол ОВА и радиус окружности, если угол АОС=90, угол ОВС=15 3) В параллелограмм АВСD с углом А=45 и стороной AD=10 корней из 2 (дм), вписана в окружность: а) найдите радиус окружности б) найдите сумму расстояний от вершины D до точек касания окружности с прямыми AD и DC. 4) Даны окружности диаметра АВ и точка О внутри нее. Используя только линейку без делений, опустите перпендикуляр из точки О на прямую АВ.

1. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник с стороной 2√3.

Для того чтобы найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, можно воспользоваться формулой:

где $a$ — длина стороны треугольника.

В нашем случае $a = 2\sqrt{3}$, подставляем в формулу:

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1.

2. Задача с остроугольным треугольником ABC, описанным около окружности.

У нас есть треугольник ABC, окружность которого описана, и точка O пересечения серединных перпендикуляров, удалённая от прямой AB на 6 см. Из условия также известно, что угол AOC = 90° и угол OBC = 15°. Нужно найти угол OBA и радиус окружности.

В этом случае, поскольку угол AOC = 90°, треугольник ABC является прямоугольным, а точка O — центром описанной окружности, расположенным на гипотенузе. Таким образом, угол OBA можно найти, используя теорему о центре окружности, а также учесть, что угол OBA = угол OBC + угол OCA.

Так как угол OBC = 15°, угол OCA будет равен 45° (так как сумма всех углов в треугольнике AOC составляет 90°), и тогда угол OBA = 15° + 45° = 60°.

Для вычисления радиуса описанной окружности, можно использовать формулу радиуса для прямоугольного треугольника:

где $c$ — длина гипотенузы.

Так как угол AOC прямой, радиус окружности будет равен половине длины гипотенузы треугольника ABC.

3. Задача с параллелограммом ABCD, вписанным в окружность.

а) Для нахождения радиуса окружности, вписанной в параллелограмм, можно использовать следующее свойство: если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником. Из условия задачи известно, что угол A = 45°, и сторона AD = 10√2 (дм).

Так как параллелограмм является прямоугольником, радиус описанной окружности можно найти по формуле:

где $d$ — диагональ прямоугольника. Диагональ прямоугольника можно вычислить по теореме Пифагора:

Таким образом, радиус окружности:

б) Чтобы найти сумму расстояний от вершины D до точек касания окружности с прямыми AD и DC, нужно вспомнить, что для вписанного в окружность прямоугольника сумма расстояний от любой вершины до точек касания окружности с его сторонами всегда равна половине периметра прямоугольника.

Периметр прямоугольника можно найти по формуле:

Тогда сумма расстояний:

4. Задача с окружностью диаметра AB и точкой O внутри окружности.

Для того чтобы опустить перпендикуляр из точки O на прямую AB, используя только линейку без делений, можно выполнить следующие шаги:

1. Провести произвольную прямую, проходящую через точку O и пересекающую окружность в двух точках. Эти точки можно назвать C и D.
2. Измерить расстояния от точки O до точек касания с окружностью с помощью линейки.
3. Построить перпендикуляр к прямой AB, используя геометрические построения с помощью циркуля и линейки, например, с помощью метода биссектрисы угла или методом пересечения двух перпендикуляров.

Таким образом, построение перпендикуляра из точки O на прямую AB с использованием только линейки без делений — задача более сложная, требующая использования традиционных геометрических инструментов, однако с помощью линейки и базовых геометрических знаний, можно построить такой перпендикуляр.