Даны куб и прямоугольный параллелепипед, объёмы которых равны. Длина ребра куба равна a см. Одно из рёбер при основании прямоугольного параллелепипеда в 2 раза длиннее ребра куба, а второе ребро при основании прямоугольного параллелепипеда на 2 см короче ребра куба. Площадь основания прямоугольного параллелепипеда больше площади основания куба на 21 см².
1. Вычисли длину a ребра куба и длины рёбер при основании прямоугольного параллелепипеда.
2. Вычисли высоту прямоугольного параллелепипеда.

Пусть длина ребра куба \( a \) см. Тогда объём куба \( V_{\text{куб}} = a^3 \).

У прямоугольного параллелепипеда рёбра при основании: одно \( 2a \) см, второе \( a - 2 \) см. Площадь основания параллелепипеда \( S_{\text{осн}} = 2a \cdot (a - 2) = 2a(a - 2) \). Площадь основания куба \( a^2 \).

По условию площадь основания параллелепипеда на 21 см² больше: \( 2a(a - 2) = a^2 + 21 \).

Решим уравнение:
\( 2a^2 - 4a = a^2 + 21 \)
\( a^2 - 4a - 21 = 0 \)
\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \)
\( a = \frac{4 \pm 10}{2} \). Положительный корень: \( a = 7 \) (см).

Тогда рёбра при основании параллелепипеда: \( 2a = 14 \) см и \( a - 2 = 5 \) см.

Объём куба \( 7^3 = 343 \) см³. Объём параллелепипеда равен объёму куба: \( S_{\text{осн}} \cdot h = 14 \cdot 5 \cdot h = 70h = 343 \), откуда \( h = \frac{343}{70} = 4{,}9 \) см.

Ответ: 1) \( a = 7 \) см, рёбра основания 14 см и 5 см; 2) высота 4,9 см.

0 0 Пожаловаться