На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 72, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Пусть $BD=x$, $DC=y$. Так как полуокружность построена на $BC$ как на диаметре, точка $M$, лежащая на высоте $AD$, находится на этой окружности.

Обозначим $D$ началом координат, а высоту $AD$ направим вертикально. Тогда:

(так как $MD=18$).

Пусть

Уравнение окружности с диаметром $BC$ можно получить из условия, что угол $BMC$ прямой (теорема Фалеса). Для точки $M$ выполняется:

Вычислим эти длины:

Подставляем:

Раскрываем квадрат справа:

Следовательно,

откуда

Теперь найдём положение ортоцентра $H$. Пусть

Так как $H$ лежит на высоте $AD$, достаточно найти его расстояние от $D$.

Высота из вершины $B$ перпендикулярна стороне $AC$. Наклон $AC$:

Значит, наклон высоты из $B$ равен

Уравнение этой высоты, проходящей через $B(-x;0)$:

В точке пересечения с $AD$ имеем $X=0$, поэтому:

Берём длину положительной, так как $H$ находится между $D$ и $A$:

Подставляем найденное произведение:

Значит,

Ответ: