Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причём одну из них — в данной точке.

Пусть дан угол $ABC$, и на стороне $BA$ дана точка $M$, в которой окружность должна касаться этой стороны.

Построение:

1. Проведём через точку $M$ прямую, перпендикулярную стороне $BA$.
   Так как радиус окружности в точке касания перпендикулярен касательной, центр искомой окружности должен лежать на этой прямой.

2. Построим биссектрису угла $ABC$.
   Центр любой окружности, касающейся обеих сторон угла, находится на биссектрисе этого угла, так как расстояния от центра до обеих сторон должны быть равны.

3. Обозначим точку пересечения построенной перпендикулярной прямой и биссектрисы через $O$.
   Точка $O$ будет центром искомой окружности.

4. Проведём окружность с центром $O$ и радиусом $OM$.

Почему построена именно такая окружность:

• Радиус $OM$ перпендикулярен стороне $BA$, поэтому окружность касается стороны $BA$ в точке $M$.

• Так как центр $O$ лежит на биссектрисе угла, расстояния от него до обеих сторон угла равны.

• Следовательно, расстояние от $O$ до второй стороны угла также равно $OM$, поэтому окружность касается и второй стороны.

Таким образом, полученная окружность касается обеих сторон данного угла, причём одной из них — в заданной точке.