1)Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда.

2)Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним.

3)Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равна a. Постройте сечение куба, проходящее через точки B1, D и середину ребра A1A и найдите его площадь.

Рассмотрим решение задач подробно.

Задача 1

Условие: Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда.

Решение:

1. Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда равны $a = 6k$, $b = 6k$ и $c = 7k$, где $k$ — некоторая положительная величина.
2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ выражается формулой: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
3. Подставим значения $a = 6k$, $b = 6k$, $c = 7k$ и диагональ $d = 11$: $$11 = \sqrt{(6k)^2 + (6k)^2 + (7k)^2}$$ $$11 = \sqrt{36k^2 + 36k^2 + 49k^2}$$ $$11 = \sqrt{121k^2}$$ $$11 = 11k \Rightarrow k = 1$$
4. Значит, стороны параллелепипеда равны $a = 6$, $b = 6$, $c = 7$.
5. Теперь находим диагонали граней:
   • Для грани с размерами $a$ и $b$: $$d_{ab} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.49 \text{ см}$$
   • Для грани с размерами $a$ и $c$: $$d_{ac} = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \approx 9.22 \text{ см}$$
   • Для грани с размерами $b$ и $c$: $$d_{bc} = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{85} \approx 9.22 \text{ см}$$

Ответ: Диагонали граней параллелепипеда равны $6\sqrt{2} \approx 8.49$ см, $\sqrt{85} \approx 9.22$ см и $\sqrt{85} \approx 9.22$ см.

Задача 2

Условие: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним.

Решение:

1. Наименьшее ребро — это ребро длиной 2 см.
2. Рассмотрим грани, которые не содержат это ребро:
   • Одна из таких граней имеет стороны 4 и 4 см, поэтому диагональ этой грани (наибольшая диагональ среди граней) равна: $$d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ см}$$