Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом при вершине

Ответы на вопрос

Отвечает Кумисбекова Диана.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной $a = 6$ см и углом при вершине $\alpha = 120^\circ$ .
Диагональ наибольшей боковой грани образует угол $60^\circ$ с плоскостью основания.

Требуется:

Найти площадь боковой грани.
Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Находим стороны основания треугольника

Поскольку треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны $a = 6$ . Основание $b$ можно найти, используя закон косинусов:

b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha),

b^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ).

Значение $\cos(120^\circ) = -0.5$ , подставляем:

b^2 = 36 + 36 - 2 \cdot 36 \cdot (-0.5),

b^2 = 36 + 36 + 36 = 108.

b = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}.

Теперь мы знаем все стороны основания: две боковые $6$ см и основание $6\sqrt{3}$ см.

2. Находим высоту призмы

Диагональ боковой грани образует угол $60^\circ$ с основанием. Пусть высота призмы $h$ , а диагональ наибольшей боковой грани — гипотенуза треугольника, лежащего в боковой грани. Этот треугольник включает:

$h$ — высоту призмы,
$6$ — боковую сторону основания,
угол между ними $60^\circ$ .

Составим тригонометрическое уравнение для гипотенузы $d$ :

\sin(60^\circ) = \frac{h}{d}.

Подставляем $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{6}.

Отсюда:

h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.

3. Площадь боковой грани

Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник со сторонами $6$ и $h = 3\sqrt{3}$ . Площадь одной боковой грани:

S_{\text{боковой}} = a \cdot h = 6 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}.

4. Площадь полной поверхности

Полная поверхность призмы состоит из:

двух оснований (равнобедренные треугольники),
трех боковых граней (прямоугольники).

Площадь основания

Площадь равнобедренного треугольника можно найти через формулу площади:

S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{\text{треугольника}}.

Для этого нужно найти высоту треугольника, опущенную на основание $b = 6\sqrt{3}$ . Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Половина основания равна $\frac{b}{2} = 3\sqrt{3}$ . Используем теорему Пифагора:

h_{\text{треугольника}}^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2,

h_{\text{треугольника}}^2 + (3\sqrt{3})^2 = 6^2,