1)Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует угол 45 градусов с плоскостью основания . Найдите высоту пирамиды , если сторона основания равна 15.

2) Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол , равный 60 градусов. Найдите сторону основания, если высота пирамиды равна 10√3.

Решение задачи:

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует угол 45° с плоскостью основания. Найти высоту, если сторона основания равна 15.

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду, основанием которой является правильный треугольник со стороной $a = 15$. Пусть высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания.

2. Центр основания — точка пересечения медиан правильного треугольника. В правильном треугольнике центр делит медиану в отношении $2:1$. Длина медианы в правильном треугольнике выражается как:

   $$m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 15 = \frac{15\sqrt{3}}{2}.$$

3. Центр основания делит медиану так, что расстояние от центра основания до любой вершины треугольника равно:

   $$r = \frac{m}{3} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

4. Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через высоту и боковое ребро. Это сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником, где:

   • Гипотенуза — боковое ребро.
   • Один из катетов — высота пирамиды.
   • Другой катет — расстояние от вершины пирамиды до центра основания.

5. По условию угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник в сечении прямоугольный и равнобедренный:

   $$h = r = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: высота пирамиды равна $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°, высота пирамиды равна $10\sqrt{3}$. Найти сторону основания.

1. Пусть $a$ — сторона основания, а $h = 10\sqrt{3}$ — высота пирамиды. Центр основания обозначим за $O$, вершину пирамиды за $S$.

2. Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через высоту пирамиды и ребро боковой грани. Это сечение образует равнобедренный треугольник:

   • $h$ — высота из вершины пирамиды до центра основания.
   • $s$ — апофема, равная высоте боковой грани.

3. Из условия: угол между боковой гранью и основанием равен $60^\circ$. Тогда:

   $$\tan(60^\circ) = \frac{s}{h}.$$

4. Подставляем известное значение высоты $h$:

   $$\sqrt{3} = \frac{s}{10\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad s = 30.$$

5. Рассмотрим апофему $s$ как медиану в правильном треугольнике боковой грани. Основание этой медианы совпадает с высотой правильного треугольника основания $H$, которая выражается через сторону $a$ следующим образом:

   $$H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a.$$

6. Используем отношение для боковой грани в равнобедренном треугольнике, где апофема является медианой:

   $$s = \sqrt{h^2 + H^2}.$$

7. Подставляем:

   $$30 = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\right)^2}.$$

8. Возводим в квадрат:

   $$900 = 300 + \frac{3a^2}{4}.$$

9. Упрощаем:

   $$600 = \frac{3a^2}{4} \quad \Rightarrow \quad a^2 = 800.$$

10. Берём корень:

    $$a = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}.$$