Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а диагональ боковой грани равна корень из 13. Найдите угол между плоскостью А1ВС и плоскостью основания призмы.

Чтобы найти угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания правильной треугольной призмы $ABC$, нужно использовать свойства геометрии и векторного анализа.

1. Определим координаты вершин призмы: Поскольку призма правильная, ее основание — правильный треугольник. Сначала зададим координаты точек основания.

   Пусть $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$, $B$ — $(2, 0, 0)$, а точка $C$ будет лежать на оси $x$ и иметь координаты $(1, \sqrt{3}, 0)$ (так как основание — правильный треугольник с длиной стороны 2).

   Теперь, чтобы задать вершины боковой грани, которая параллельна основанию, нужно учесть, что эти точки лежат на прямой, параллельной оси $z$. Пусть $A_1$, $B_1$, и $C_1$ — вершины боковой грани. Тогда их координаты будут:

   • $A_1(0, 0, h)$,
   • $B_1(2, 0, h)$,
   • $C_1(1, \sqrt{3}, h)$, где $h$ — высота призмы.

2. Используем информацию о диагонали боковой грани: Диагональ боковой грани $A_1BC$ равна $\sqrt{13}$. Расстояние между точками $A_1(0, 0, h)$ и $C(1, \sqrt{3}, 0)$ можно найти по формуле расстояния в 3D-пространстве:

   $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

   Подставляем координаты точек $A_1(0, 0, h)$ и $C(1, \sqrt{3}, 0)$:

   $$\sqrt{(1 - 0)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{13}$$

   Это дает:

   $$\sqrt{1 + 3 + h^2} = \sqrt{13}$$

   Упростим:

   $$4 + h^2 = 13$$ $$h^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad h = 3$$

3. Найдем угол между плоскостями: Теперь, когда мы знаем высоту призмы $h = 3$, можно приступать к нахождению угла между плоскостью основания $ABC$ и плоскостью боковой грани $A_1BC$.

   Угол между плоскостями можно найти, используя векторное произведение. Для этого нужно определить нормальные векторы к этим плоскостям.

   • Нормальный вектор к плоскости основания $ABC$ можно найти, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Например, вектор $\overrightarrow{AB}$ = $(2, 0, 0)$ и вектор $\overrightarrow{AC}$ = $(1, \sqrt{3}, 0)$.

     Нормальный вектор $\vec{n_1}$ будет равен:

     $$\vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2, 0, 0) \times (1, \sqrt{3}, 0) = (0, 0, 2\sqrt{3})$$