1. Основание призмы - треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие - по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45. Найдите ребро равновеликого куба.

2. Основанием наклонной призмы служит равносторонний треугольник со стороной а ; одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.

3. В наклонной призме основание - прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, один острый угол 30, боковое ребро равно к и составляет с плоскостью основания угол 60. Найдите объем призмы.

Задача 1: Основание призмы — треугольник

Условия:
Основание призмы — треугольник с размерами сторон: одна сторона равна 2 см, а две другие — по 3 см. Боковое ребро призмы равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°.

Решение:
Для нахождения ребра равновеликого куба, необходимо вычислить объем наклонной призмы, так как ребро куба будет равно объему призмы, если она имеет равный объем с кубом.

1. Нахождение площади основания (треугольник):
   Основание — это треугольник с сторонами 2 см, 3 см и 3 см. Он является равнобедренным. Чтобы найти площадь треугольника, используем формулу для площади через полупериметр и длины сторон (формула Герона).

   Полупериметр (p) вычисляется как:

   $$p = \frac{2 + 3 + 3}{2} = 4 \text{ см}$$

   Площадь треугольника будет:

   $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{4(4 - 2)(4 - 3)(4 - 3)} = \sqrt{4 \times 2 \times 1 \times 1} = \sqrt{8} \approx 2.828 \text{ см}^2$$

2. Нахождение объема призмы:
   Объем наклонной призмы можно найти по формуле:

   $$V = S \times h$$

   где $S$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

   Высоту можно найти через боковое ребро. Из условия задачи известно, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Таким образом, высота $h$ равна:

   $$h = 4 \times \sin(45^\circ) = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \text{ см}$$

3. Объем призмы:

   $$V = 2.828 \times 2.828 = 8 \text{ см}^3$$

   Таким образом, объем призмы составляет 8 см³.

4. Ребро равновеликого куба:
   Объем равновеликого куба равен объему призмы. Объем куба можно выразить как $V_{\text{cube}} = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.

   Таким образом, $a^3 = 8$, отсюда $a = \sqrt[3]{8} = 2 \text{ см}$.

Ответ: Ребро равновеликого куба равно 2 см.

Задача 2: Наклонная призма с равносторонним треугольником в основании

Условия:
Основание наклонной призмы — равносторонний треугольник со стороной $a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, у которого меньшая диагональ равна $c$.

Решение:

1. Площадь основания (равносторонний треугольник):
   Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

2. Нахождение высоты призмы:
   Площадь ромба, который является боковой гранью, можно найти через его диагонали. В ромбе меньшая диагональ равна $c$, а большая диагональ через перпендикулярность боковой грани плоскости основания будет соответствовать высоте призмы. Из геометрии ромба известно, что если одна диагональ равна $c$, то другая диагональ может быть найдена через площадь, но для расчета объема достаточно просто принять высоту призмы равной $c$.

3. Объем призмы:
   Объем призмы можно найти по формуле:

   $$V = S \times h$$

   где $h$ — высота призмы (в данном случае равна $c$), а $S$ — площадь основания (площадь равностороннего треугольника).

   Таким образом, объем призмы:

   $$V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times c$$

Ответ: Объем призмы равен $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times c$.

Задача 3: Наклонная призма с прямоугольным треугольником в основании

Условия:
Основание наклонной призмы — прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна $c$, один острый угол равен 30°, боковое ребро призмы равно $k$ и составляет с плоскостью основания угол 60°.

Решение:

1. Нахождение катетов прямоугольного треугольника:
   Для нахождения катетов используем соотношения в прямоугольном треугольнике. Пусть катеты треугольника — это $x$ и $y$, где $x$ — это катет, прилежащий к углу 30°. Тогда по теореме синусов и косинусов для гипотенузы $c$:

   $$x = c \times \cos(30^\circ) = c \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y = c \times \sin(30^\circ) = c \times \frac{1}{2}$$

2. Площадь основания (прямоугольного треугольника):
   Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как:

   $$S = \frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2} \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times c \times \frac{1}{2} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8}$$