1) Прямоугольная трапеция с большим основанием 8 см и боковыми сторонами 3 см и 5 см вращается вокруг большего основания. Найдите объём тела вращения.
2) Прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим острым углом α вращается вокруг гипотенузы. Найдите объём тела вращения.

1) Прямоугольную трапецию удобно разделить на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

Высота трапеции равна \(3\) см, потому что другая боковая сторона \(5\) см — наклонная. Разность оснований найдём по теореме Пифагора:

\[\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\]

Значит, меньшее основание равно \(8-4=4\) см.

При вращении вокруг большего основания получаются цилиндр радиуса \(3\) см и высоты \(4\) см, а также конус радиуса \(3\) см и высоты \(4\) см:

\[V=\pi\cdot3^2\cdot4+\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=36\pi+12\pi=48\pi\]

Ответ: \(48\pi\) см³.

2) Пусть катет \(a\) прилежит к углу \(\alpha\). Тогда гипотенуза равна:

\[c=\frac{a}{\cos\alpha}\]

Второй катет:

\[a\tan\alpha\]

При вращении вокруг гипотенузы получается тело из двух конусов с общей высотой-радиусом, равной высоте треугольника к гипотенузе. Эта высота:

\[h=\frac{a\cdot a\tan\alpha}{a/\cos\alpha}=a\sin\alpha\]

Объём двух конусов вместе:

\[V=\frac13\pi h^2c=\frac13\pi\cdot a^2\sin^2\alpha\cdot\frac{a}{\cos\alpha}\]

Ответ: \(V=\frac{\pi a^3\sin^2\alpha}{3\cos\alpha}\).

0 0 Пожаловаться