Докажите, что касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине делит противоположную сторону внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон.

Пусть дан неравнобедренный треугольник $ABC$, около которого описана окружность. Проведем касательную к этой окружности в вершине $A$. Пусть эта касательная пересекает прямую $BC$ в точке $D$. Требуется доказать, что она делит сторону $BC$ внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон, то есть:

Так как $D$ лежит на продолжении стороны $BC$, точка $D$ делит эту сторону внешним образом.

Рассмотрим углы, образованные касательной и хордами окружности.

По теореме о касательной и хорде угол между касательной $AD$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $AB$:

Аналогично:

Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$.

У них общий угол при вершине $D$, так как точки $B,C,D$ лежат на одной прямой. Кроме того:

По теореме синусов для треугольника $ABD$:

Отсюда:

Для треугольника $ACD$:

следовательно,

Так как углы $ADB$ и $ADC$ являются смежными, их синусы равны:

Поэтому при делении получаем:

Теперь используем равенства углов:

Тогда:

В исходном треугольнике $ABC$ снова применим теорему синусов:

Отсюда:

Подставляем это в предыдущее выражение:

Получаем:

Следовательно, касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине действительно делит противоположную сторону внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон. Доказательство завершено.