Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Нужно доказать, что точка $O$ делит каждую диагональ пополам, то есть:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $△AOB$ и $△COD$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны и параллельны:

Также, так как $AB\parallel CD$, а $AC$ и $BD$ являются секущими, получаем равенство углов:

и

Следовательно, треугольники $AOB$ и $COD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

и

Значит, точка пересечения диагоналей $O$ делит обе диагонали параллелограмма на две равные части.

Следовательно, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.