Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями. Постройте ромб.

Построение прямоугольника

а) Построение прямоугольника по двум смежным сторонам

Даны две смежные стороны прямоугольника: $a$ и $b$.

1. Построим отрезок $AB=a$.

2. В точке $A$ проведем прямую, перпендикулярную $AB$.

3. На этой прямой отложим отрезок $AD=b$.

4. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную $AD$.

5. Через точку $D$ проведем прямую, параллельную $AB$.

6. Точка пересечения этих двух прямых — $C$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник, так как все его углы прямые.

б) Построение прямоугольника по стороне и диагонали

Даны сторона прямоугольника $AB=a$ и диагональ $AC=d$.

1. Построим отрезок $AB=a$.

2. В точке $B$ проведем перпендикуляр к $AB$.

3. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d$.

4. Точка пересечения этой окружности с перпендикуляром из $B$ обозначим $C$.

5. Через точку $C$ проведем прямую, параллельную $AB$.

6. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную $BC$.

7. Их пересечение обозначим $D$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник.

в) Построение прямоугольника по диагонали и углу между диагоналями

Даны диагональ прямоугольника $d$ и угол между диагоналями $\alpha$.

1. Построим отрезок $AC=d$, который будет одной из диагоналей прямоугольника.

2. Найдем середину диагонали $AC$ — точку $O$.

3. Через точку $O$ проведем прямую, образующую с $AC$ угол $\alpha$. Эта прямая будет направлением второй диагонали $BD$.

4. На этой прямой отложим отрезок $OB=OD=\frac{BD}{2}$. Длины половин второй диагонали определяются из свойств прямоугольника: диагонали равны и пересекаются пополам, поэтому $BD=AC$.

5. Получим точки $B$ и $D$.

6. Соединим точки $A,B,C,D$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником, так как его диагонали равны и пересекаются в одной точке.

Построение ромба

Дан ромб по стороне $a$.

1. Построим отрезок $AB=a$.

2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ радиуса $a$.

3. Построим окружность с центром в точке $B$ радиуса $a$.

4. Одну из точек пересечения окружностей обозначим $C$.

5. Через точки $A$ и $C$ проведем окружность радиуса $a$, а через точки $B$ и $C$ — аналогичную.

6. Вторую точку пересечения полученных окружностей обозначим $D$.

7. Соединим точки $A,B,C,D$.

Так как все стороны полученного четырёхугольника равны $a$, получаем ромб $ABCD$.