В ромб вписана окружность радиуса r. Найдите площадь ромба, если его большая диагональ равна 4r.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

У нас есть ромб с вписанной окружностью радиуса $r$. В ромб всегда можно вписать окружность, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба, проведённой к любой стороне.

Обозначим:

• $d_1$ — большая диагональ ромба.

• $d_2$ — меньшая диагональ ромба.

• $S$ — площадь ромба.

Шаг 1. Связь радиуса вписанной окружности и диагоналей

Площадь ромба через диагонали выражается формулой:

Также, площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$:

где $p = 2a$ — половина периметра ромба, $a$ — сторона ромба.

Шаг 2. Найдём сторону ромба через диагонали

Если диагонали ромба $d_1$ и $d_2$, то каждая диагональ делит ромб на четыре прямоугольных треугольника. Тогда сторона ромба выражается через диагонали так:

Шаг 3. Связь радиуса вписанной окружности и диагоналей

Радиус вписанной окружности равен половине меньшей диагонали:

Почему так? В ромбе высота $h$ проведённая к любой стороне — это $h = 2r$. Площадь через диагонали: $S = \frac{d_1 d_2}{2}$. Площадь через сторону и высоту: $S = a \cdot h = a \cdot 2r$. Известно, что $d_1 = 4r$. Значит, меньшая диагональ:

Шаг 4. Площадь ромба

Подставим диагонали в формулу площади:

✅ Ответ:

Таким образом, площадь ромба равна $4r^2$.