1) Площадь квадрата равна площади прямоугольника со сторонами 2 см и 4 см. Найдите диагональ квадрата. 2) Меньшая диагональ ромба равна его стороне. Найдите площадь ромба, если большая диагональ равна 10 см.

1. Чтобы найти диагональ квадрата, нужно начать с того, что нам дана его площадь. Площадь квадрата равна площади прямоугольника с размерами сторон 2 см и 4 см. Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:

$\text{Площадь} = \text{длина} \times \text{ширина} = 2 \, \text{см} \times 4 \, \text{см} = 8 \, \text{см}^2$

Площадь квадрата также равна квадрату его стороны. Пусть длина стороны квадрата равна $a$, тогда:

$a^2 = 8$

Чтобы найти $a$, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a = \sqrt{8} \approx 2.83 \, \text{см}$

Теперь, чтобы найти диагональ квадрата, используем формулу диагонали квадрата:

$d = a\sqrt{2}$

Подставляем найденное значение $a$:

$d = 2.83 \times \sqrt{2} \approx 2.83 \times 1.41 \approx 4.0 \, \text{см}$

Ответ: Диагональ квадрата примерно равна 4 см.

2. Для ромба с меньшей диагональю, равной его стороне, площадь ромба можно найти, используя формулу для площади ромба через его диагонали:

$S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

Где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Нам известно, что меньшая диагональ $d_1$ равна стороне ромба, а большая диагональ $d_2$ равна 10 см.

Пусть сторона ромба $a$, тогда $d_1 = a$. Площадь ромба будет:

$S = \frac{1}{2} \times a \times 10$

Также, для ромба существует связь между его стороной и диагоналями:

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставляем известные значения:

$a^2 + 10^2 = 4a^2$

Решим это уравнение:

$a^2 + 100 = 4a^2$

Переносим все в одну сторону:

$100 = 3a^2$

Делим обе части на 3:

$a^2 = \frac{100}{3}$

$a \approx \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77 \, \text{см}$

Теперь, используя найденное значение стороны ромба, находим его площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 5.77 \times 10 \approx 28.85 \, \text{см}^2$

Ответ: Площадь ромба примерно равна 28.85 см².