1) В правильный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите площадь треугольника. 2) В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник. Найдите его площадь. 3) Найдите площадь правильного треугольника со стороной а. 4) В окружность вписан правильный четырёхугольник, и вокруг этой окружности описан правильный четырёхугольник. Найдите отношения периметров и площадей этих четырёхугольников. 5) В окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат. Площадь квадрата равна S. Найдите сторону и площадь шестиугольника.

1. Пусть в правильный треугольник со стороной $a$ вписана окружность радиуса $r$. Для правильного треугольника

Площадь $S_\triangle=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3\,r)^2=3\sqrt3\,r^2.$

Ответ: $S=3\sqrt3\,r^2.$

2. В окружность радиуса $R$ вписан правильный шестиугольник. У правильного шестиугольника сторона равна его радиусу описанной окружности: $a=R$. Площадь правильного шестиугольника:

Ответ: $S=\dfrac{3\sqrt3}{2}\,R^2.$

3. Площадь правильного треугольника со стороной $a$:

Ответ: $S=\dfrac{\sqrt3}{4}\,a^2.$

4. Пусть радиус окружности $r$.

• Вписанный квадрат: диагональ $=2r$, значит сторона $a_{\text{вп}}=\dfrac{2r}{\sqrt2}=r\sqrt2$. Тогда

  $$P_{\text{вп}}=4a_{\text{вп}}=4r\sqrt2,\quad S_{\text{вп}}=a_{\text{вп}}^2=2r^2.$$

• Описанный квадрат: окружность — его вписанная, значит $r=\dfrac{a_{\text{оп}}}{2}\Rightarrow a_{\text{оп}}=2r$. Тогда

  $$P_{\text{оп}}=4a_{\text{оп}}=8r,\quad S_{\text{оп}}=a_{\text{оп}}^2=4r^2.$$