9. (2 бали) Через середини ребер DВ, ВС і АС піраміди DABC точки К, Р і М відповідно, проведено площину а. Побудуйте точку Х перетину прямої AD із площиною а. Знайдіть периметр чотирикутника КХМР, якщо АВ = 11 см, DC = 18 см.

Точки $K,P,M$ — середини ребер $DB,BC,AC$ відповідно.

Розглянемо грані піраміди.

У трикутнику $DBC$ точки $K$ і $P$ — середини сторін $DB$ і $BC$. Тому за властивістю середньої лінії трикутника

У трикутнику $ABC$ точки $P$ і $M$ — середини сторін $BC$ і $AC$. Отже,

Через точку $K$ у площині грані $DAB$ проведемо пряму, паралельну $AB$. Оскільки $K$ — середина $DB$, то за теоремою про середню лінію ця пряма перетне $AD$ у її середині. Позначимо цю точку через $X$.

Отже, $X$ — середина ребра $AD$. При цьому

Оскільки $KX\parallel PM$, а точки $K,P,M$ лежать у площині $\alpha$, то і пряма $KX$ належить площині $\alpha$. Тому $X$ і є точкою перетину прямої $AD$ з площиною $\alpha$.

Тепер у трикутнику $ADC$ точки $X$ і $M$ — середини сторін $AD$ і $AC$, тому

Таким чином, чотирикутник $KXMP$ — паралелограм зі сторонами

Його периметр: