Через вершину конуса висота якого H проведено площину під кутом β до площини основи ця площина перетинає основу конуса по хорді, що стягує дугу α. Обчисліть чому дорівнює площа перерізу якщо відома H=3 корінь із 2; β=60 градусів; α=90 градусів

Для розв'язку цієї задачі розглянемо геометрію конуса та перерізу, який утворює площина, що проходить через вершину конуса і нахилена до основи під кутом β.

1. Геометрія задачі:

   • Нехай основа конуса — це коло радіусом $R$, а висота конуса дорівнює $H = 3\sqrt{2}$.
   • Площина, що проходить через вершину конуса під кутом $\beta = 60^\circ$ до площини основи, перетинає основу конуса, утворюючи хорду, що стягує дугу $\alpha = 90^\circ$.
   • Необхідно знайти площу перерізу, який утворює ця площина.

2. Крок 1: Аналіз перерізу конуса Коли площина перетинає конус, вона утворює трапецію або сегмент кола, залежно від кута нахилу. Оскільки площина проходить через вершину конуса, вона буде утворювати на основі конуса хорду, яка стягує дугу кута $\alpha = 90^\circ$. Це означає, що хордою, яку перетинає площина, є одна чверть кола з радіусом $R$.

3. Крок 2: Знаходимо радіус основи конуса Для знаходження радіусу $R$ можна використати властивості конуса. Знаючи висоту $H = 3\sqrt{2}$ і кути нахилу, можна припустити, що проекція перерізу на площину основи є колом, і хорда, що утворює дугу 90°, буде частиною цього кола.

   З формули для радіусу кола основи конуса, в якому кут нахилу $\beta = 60^\circ$, маємо:

   $$R = H \cdot \tan(\beta) = 3\sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}.$$

4. Крок 3: Визначення площі перерізу Площина перетинає основу конуса по хорді, яка стягує дугу в $90^\circ$ на колі з радіусом $R$. Тому ми маємо чверть кола. Площа сектора кола, що відповідає цій дузі, обчислюється за формулою:

   $$S_{\text{сектор}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2.$$

   Підставимо значення:

   $$S_{\text{сектор}} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (3\sqrt{6})^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 54 = \frac{54\pi}{4} = 13.5\pi.$$

5. Висновок: Площа перерізу, який утворює площина, що проходить через вершину конуса і перетинає його основу, дорівнює $13.5\pi$ квадратних одиниць.