1. Найдите отношение объёма шара к объёму вписанного в него октаэдра.
2. Найдите отношение объёма шара к объёму описанного около него октаэдра.

Рассмотрим обе задачи подробно. Будем считать, что речь идёт о правильном октаэдре, у которого все 8 граней — равносторонние треугольники.

Объём шара вычисляется по формуле:

где $R$ — радиус шара.

Объём правильного октаэдра с ребром $a$:

1. Найти отношение объёма шара к объёму вписанного в него октаэдра

Дано: шар радиуса $R$, в который вписан правильный октаэдр.

Решение:

Если октаэдр вписан в шар, то все его вершины лежат на поверхности шара.

У правильного октаэдра расстояние между двумя противоположными вершинами равно $a\sqrt2$. Это расстояние является диаметром описанного шара.

Следовательно,

Отсюда выразим ребро октаэдра:

Теперь найдём объём октаэдра:

Подставим $a=R\sqrt2$:

Так как

получаем:

Объём шара:

Найдём отношение объёмов:

После сокращения получаем:

Ответ к задаче 1: $\boxed{{\displaystyle \pi :1}}$