В равнобедренной трапеции один из углов равен 120, меньшее основании и боковая сторона равны 8 см. Найдите периметр и среднюю линию трапеции.

Решение:

Дано:

• Угол при основании равнобедренной трапеции $\alpha = 120^\circ$,
• Меньшее основание $AB = 8 \, \text{см}$,
• Боковые стороны равны $AD = BC = 8 \, \text{см}$.

Нужно найти:

1. Периметр трапеции,
2. Среднюю линию трапеции.

1. Разберёмся с трапецией:

У равнобедренной трапеции меньшим основанием будем считать $AB$, а большим основанием — $CD$. Углы при основании $AB$ равны, то есть угол $\angle DAB = \alpha = 120^\circ$.

2. Построим высоту $h$:

Опустим высоты $AE$ и $BF$ из вершин $A$ и $B$ соответственно на основание $CD$. Эти высоты образуют прямоугольные треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle BCF$, где $AE = BF = h$ — высота трапеции.

В треугольнике $\triangle ABE$:

• $AB = 8$,
• $\angle DAB = 120^\circ$,
• Высота делит боковые стороны $AD$ и $BC$ на две равные части.

3. Найдём высоту $h$:

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABE$, из катетов $AE$ и $EB$ можно записать:

Подставим $AD = 8$:

Высота трапеции $h = AE = 4\sqrt{3} \, \text{см}$.

4. Найдём проекцию боковой стороны на основание ($EB$):

Это означает, что каждый боковой край основания $CD$ дополнительно удлиняется на $4 \, \text{см}$ с каждой стороны.

5. Найдём большее основание $CD$:

6. Найдём среднюю линию:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

7. Найдём периметр:

Периметр трапеции равен сумме всех её сторон:

Ответ:

1. Периметр трапеции: $40 \, \text{см}$,
2. Средняя линия: $12 \, \text{см}$.