1. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой же окружности.
2. Длина стороны правильного 6-угольника, вписанного в окружность, равна 7 см. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.

1. Периметр квадрата равен \(48\) см, значит его сторона:

\[a=48:4=12\text{ см}\]

Квадрат вписан в окружность, поэтому диагональ квадрата равна диаметру окружности:

\[d=12\sqrt{2}\]

Радиус окружности:

\[r=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\text{ см}\]

Эта же окружность является вписанной в правильный треугольник. Для правильного треугольника \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\), значит:

\[a=2r\sqrt{3}=2\cdot6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=12\sqrt{6}\text{ см}\]

Ответ: \(12\sqrt{6}\) см.

2. У правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности. Значит, радиус окружности \(R=7\) см.

Сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность:

\[a=R\sqrt{3}=7\sqrt{3}\text{ см}\]

Площадь правильного треугольника:

\[S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(7\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{147\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2\]

Ответ: \(\frac{147\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться