ЗАДАНИЕ 1

Определите можно ли описать окружность вокруг четырехугольника ABCD, если углы ABCD равны соответственно :
а) 90°, 90°, 20°, 160°
б) 5°, 125°, 175°, 60°


ЗАДАНИЕ 2

Найдите неизвестные углы:
а) вписанного четырехугольника, если 2 из них равны 46° и 125°
б) вписанной трапеции если один из них равен 80°
в) вписанного четырехугольника диагонали которого точкой пересечения делятся пополам


ЗАДАНИЕ 3

Найдите периметр:
а) описанного четырехугольника, 3 последовательные стороны которого равны 7см, 9см, 8см
б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3см и 11см

ЗАДАНИЕ 1

Определите, можно ли описать окружность вокруг четырехугольника ABCD, если углы ABCD равны соответственно:

а) 90°, 90°, 20°, 160°
б) 5°, 125°, 175°, 60°

Чтобы выяснить, можно ли описать окружность вокруг четырехугольника, необходимо проверить теорему о вписанном четырехугольнике: четырехугольник можно вписать в окружность, если и только если сумма противоположных углов в нем равна 180°.

а) 90°, 90°, 20°, 160°
Сумма противоположных углов:

• 90° + 20° = 110°
• 90° + 160° = 250°

Так как суммы противоположных углов не равны 180°, то окружность описать невозможно.

б) 5°, 125°, 175°, 60°
Сумма противоположных углов:

• 5° + 175° = 180°
• 125° + 60° = 185°

Так как сумма противоположных углов 125° и 60° не равна 180°, то окружность описать невозможно.

ЗАДАНИЕ 2

Найдите неизвестные углы:

а) Вписанного четырехугольника, если 2 из них равны 46° и 125°.
Для любого вписанного четырехугольника сумма противоположных углов всегда равна 180°. Пусть углы, которые мы знаем, — это 46° и 125°.

• Противоположный угол к 46° будет равен 180° - 46° = 134°.
• Противоположный угол к 125° будет равен 180° - 125° = 55°.

Ответ: неизвестные углы равны 134° и 55°.

б) Вписанной трапеции, если один из углов равен 80°.
Вписанная трапеция является особым видом четырехугольника, и для нее тоже выполняется правило: сумма противоположных углов равна 180°. Если один из углов трапеции равен 80°, то противоположный ему угол будет равен 180° - 80° = 100°.

Ответ: неизвестный угол равен 100°.

в) Вписанного четырехугольника, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам.
Если диагонали четырехугольника делятся пополам в одной точке, то этот четырехугольник является циркулем (или "вписанным в окружность"), и противоположные углы также будут равны 180°. Это означает, что сумма противоположных углов всегда будет равна 180°.

Так как диагонали делятся пополам, все углы будут равны и противоположные углы также будут равны.

ЗАДАНИЕ 3

Найдите периметр:

а) Описанного четырехугольника, три последовательные стороны которого равны 7 см, 9 см, 8 см.
Для описанного четырехугольника можно воспользоваться свойством: периметр описанного четырехугольника равен сумме всех четырех его сторон. Пусть четвертая сторона будет равна $x$. Периметр равен:
$P = 7 + 9 + 8 + x = 24 + x$

Ответ: периметр будет равен $24 + x$, где $x$ — четвертая сторона.

б) Описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3 см и 11 см.
Периметр описанной трапеции равен сумме всех сторон, включая две боковые и две основания. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Периметр будет равен:
$P = 3 + 11 + a + b$

Ответ: периметр будет равен $3 + 11 + a + b$, где $a$ и $b$ — основания трапеции.