Геометрия за 7–9 классы: основные правила, теоремы и формулы

Геометрия в 7–9 классах — это раздел школьной математики, в котором изучают геометрические фигуры, их свойства, взаимное расположение, способы вычисления длин, углов, периметров и площадей.

За три года школьники осваивают основные понятия планиметрии — геометрии на плоскости. Они учатся решать задачи, строить чертежи, применять формулы и доказывать теоремы.

1. Геометрия 7 класса

В 7 классе изучают основы геометрии: точки, прямые, отрезки, лучи, углы, треугольники и параллельные прямые.

Основные геометрические понятия

Точка — простейшая геометрическая фигура, не имеющая размеров.

Прямая — бесконечная линия, не имеющая начала и конца.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч — часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.

Угол — фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Углы бывают острыми (меньше 90°), прямыми (90°), тупыми (больше 90°, но меньше 180°) и развёрнутыми (180°).

Треугольники

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трёх вершин и трёх сторон.

По сторонам треугольники бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними. По углам — остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.

Главное свойство треугольника:

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Например, если два угла треугольника равны 50° и 60°, то третий угол:

Также важно знать неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

Существуют три основных признака равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны.

2. По стороне и двум прилежащим к ней углам. Если соответствующие сторона и два прилежащих угла равны, то треугольники равны.

3. По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны.

Эти признаки особенно часто используются в задачах на доказательство.

Медиана, биссектриса и высота

stepik.org

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса — отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до противоположной стороны. Она делит угол пополам.

Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой и биссектрисой.

Параллельные прямые

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответствующие углы равны, а сумма односторонних внутренних углов составляет 180°.

Эти свойства помогают находить неизвестные углы.

2. Геометрия 8 класса

В 8 классе подробно изучают четырёхугольники, площади фигур, подобие треугольников и прямоугольные треугольники.

Четырёхугольники

Параллелограмм

Противоположные стороны попарно параллельны и равны.

Прямоугольник

Все углы равны 90°, диагонали равны.